5 Контрольных работ по математике.
Задание №5
Дан определитель 4-го порядка. 1) Вычислить, разложив определитель по 1-й строке; 2) вычислить, предварительно получив нули в строке (или столбце).
¦ 1 4 -3 9 ¦
¦ 2 5 2 -7 ¦
¦ 3 -6 1 2 ¦
Задание №15
Даны: координаты вершин пирамиды А1 А2 А3 А4. Найти: 1) длину ребра А1 А2; 2) угол между ребрами А1 А2 и А1 А4; 3) уравнение плоскости А1 А2 А3; 4) угол между ребром А1 А4 и гранью А1 А2 А3; 5) площадь грани А1 А2 А3; 6) объем пирамиды; 7) уравнение прямой А1 А2; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1 А2 А3. Сделать чертеж.
А1 (9; 5; 5 ), А2 ( -3; 7; 1 ), А3 (5; 7; 8 ), А4 (6; 9; 2 ).
Задание № 25
Даны вершины А (-3; -2 ); В ( 4; -1 ); С (1; 3 ) трапеции АВСD ( АD || BC ). Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти: координаты вершины D в этой трапеции.
Задание № 35
Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки: А ( 2; 0 ) и от прямой 2х + 5 = 0 относится как 4 : 5.
Задание № 45
Линия задана уравнением r = r ( ? ) в полярной системе координат. Требуется построить линию по точкам, начиная от ? = 0 до ? = 2 ? и придавая ?
?
значения через промежуток 8 . Записать уравнение в декартовой системе координат и определить тип кривой.
r = аsin 2 2?.
Задание № 55
Найти: пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя.
4х5 + 2 х
а) Iim ----------- ;
х?? 2 х5 - 3
?1 + 3 х2 - 1
Б) Iim --------------- ;
х?0 х2 + х3
х sin 3х
В) Iim ------------
х?0 1 - cos 6х
5
Г) Iim ( 1 + 3х ) х + 2
х?0
Задание № 65
Задана функция у = ? ( х ). Исследовать функцию на непрерывность в точке Х=0, в случае разрыва функции установить характер разрыва; при каком значении параметра ? функция будет непрерывна в точке Х = b. Сделать чертеж.
1
ех - 2, Х < а
? ( Х ) = ( х2 - 1, 0 ? х < b а = 2, b = 3
2х + ?, Х ? b
Задание №75
dу
Найти производные ( dх ) данных функций:
х - ? 2
А) У = ( --------- ;
х + ?
Б) У = е sin х - cos 2 х ;
х
В) У = In2 ? 3tq 2 + 1;
Г) У = ( аrctqх ) inх .
Задание № 85
d2 у
Найти производные ( dх 2 ) данных функций:
А) У = аrcctq;
1
Б) ( Х = 3 t 3 + t
У = In ( t2 + 1 )
Задание № 95
Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиуса R.
Задание № 105
Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.
У = хе -х
Задание № 115
Найти: неопределенные интегралы. В первых двух примерах проверить результаты дифференцированием.
А) ? 3хе 2-3
хdх
Б) ? ---------------
?3 - 2х - х2
В) ? Sin 3 хсos2 хdх
( 4?х + 1 ) dх
Г) ? -------------------- .
( ?х + 4 ) 4 ? х3
Задание № 125
Вычислить определенные интегралы (п. а) и б)), вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость (п. в)).
1 dх
А) ? --------- ;
0 1 + ?х
?3
2
Б) ? хаrccos хdх
0
+? dх
В) ? ------------ .
-1 х2 + х + 1
Задание № 135
Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
9
? ? х2 + 2 dх .
-1
Задание № 155
Дана функция: Z = in ( х + е-у ) . Показать, что
dz d2 z dz
---- . ------- - ----- .
dz d хdу dу
Задание № 165
Даны функция Z = ? 9 ( х; у ) и две точки А ( х0; У0 ) ; В (х1; у1 . Требуется: 1) Вычислить значение z1 функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z 2 функции в точке В, исходя из значения z0 в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции ее дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности Z= ? (х; у ) в точке С ( х0; у0; z0 )
Z = х2 + 2ху + 3у2 ; А ( 2; 1 ) В ( 1,96; 1,04 ) .
Задание № 175
Найти: наименьшее и наибольшее значения функции Z = ? ( х, у ) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.
Z = х2 + 2 ху + у2 ; -1 ? х ? 1; 0 ? у ? 2.
Задание № 185
Дано: функция z=z (x, y), точка А(х0, у0) и вектор а . Найти: 1) qrаdz в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора а.
Z = 5хz + 6 ху; А ( 2; 1 ); а = i + 2 j .
Задание № 195
Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах. ( а > 0 )
Х4 = а2 ( 3х2 - у2 )
Задание № 205
Вычислить с помощью двойного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать: чертежи данного тела и его проекции на плоскость xOy.
Z = 0; У + Z = 2; х2 + У2 = 4 .
Задание № 215
Найти: общее решение дифференциальных уравнений.
А) ( 3у2 + 3ху + х2 ) dх = ( х2 + 2ху ) dу ; Б) УУ - ( у )2 = У2 У1 .
Задание № 225
Найти: частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
У + У + Sin 2х = 0 У ( ? ) = 1.
Задание № 235
Исследовать сходимость числовых рядов:
? 3?
А) ? ------------------- ;
n = 1 ( n + 2 ) 4 n +1
n + 1
Б) ? ( -1 ) n ------------ ;
n = 1 ? 4 n3 + 1
Задание № 245
Найти интервал сходимости степенного ряда:
? n (х + 5 ) n
? ------------------- .
n=1 4 n ( 2n + 1 ) 2
Задание № 255
Вычислить определенный интеграл с точностью 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно.
0,5
? х in ( 1 - х2 ) dх .
0
Задание № 265
Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения У = У (Х ) дифференциального уравнения У = ? ( Х, У ) , удовлетворяющего начальным условиям.
У = In ( х2 + у2 ), У ( 0 ) = 1 .
Не нашли готовую?