Вариант-18. Математические методы и модели в экономике (контрольная работа)

Краткое описание

Работа №1

Задание 1.1

Для откорма животных используется три вида комбикорма: А, В и С. Каждому животному в сутки требуется не менее 800 г. жиров, 700 г. белков и 900 г. углеводов. Содержание в 1 кг.каждого вида комбикорма жиров белков и углеводов (граммы) приведено в таблице:

Содержание в 1 кг.	Комбикорм
	А	В	С
Жиры	100+10а	200	300
Белки	170	100+10а	110
Углеводы	380	400	100+10а
Стоимость 1 кг	31	23	20

Сколько килограммов каждого вида комбикорма нужно каждому животному, чтобы полученная смесь имела минимальную стоимость?Составить математическую модель ЗЛП и решить ее на ЭВМ, провести анализ решения. Значение параметраa соответствует номеру своего вариант.(a=18)

Задание 1.2

Продукцией городского молочного завода является молоко, кефир и сметана, расфасованные в бутылки. На производство 1 т молока, кефира и сметаны требуется соответственно 1000+а, 1000+а и 9400+а кг молока. При этом затраты рабочего времени при разливе 1 т молока и кефира составляют 0,18 и 0,19 машино-часов. На расфасовке 1 т сметаны заняты специальные автоматы в течение 3,25 часов. Всего для производства цельномолочной продукции завод может использовать 136000 кг молока. Основное оборудование может быть занято в течение 21,4 машино-часов, а автоматы по расфасовке сметаны – в течение 16,25 часов. Прибыль от реализации 1 т молока, кефира и сметаны соответственно равна 30, 22+а и 136 руб. Завод должен ежедневно производить не менее 100–a т молока, расфасованного в бутылки. На производство другой продукции не имеется никаких ограничений.

Требуется определить, какую продукцию и в каком количестве следует ежедневно изготовлять заводу, чтобы прибыль от ее реализации была максимальной. Значение параметра a соответствует номеру своего варианта.(a=18)

Задание 1.3

На швейной фабрике ткань может быть раскроена несколькими способами для изготовления нужных деталей швейных изделий. Пусть при 1-м варианте раскроя 100 м2 ткани изготовляется 6 деталей 1-го вида, 8 деталей 2-го вида, 16 деталей 3-го вида, а величина отходов при данном варианте раскроя равна 3 м2. При 2-м варианте раскроя 100 м2 ткани изготовляется 4 деталей 1-го вида, 10 деталей 2-го вида, 8 деталей 3-го вида, а величина отходов при данном варианте раскроя равна 5м2. При 3-м варианте раскроя 100 м2 ткани изготовляется 9 деталей 1-го вида, 8 деталей 2-го вида, 6 деталей 3-го вида, а величина отходов при данном варианте раскроя равна 2+а м2. Зная, что деталей 1-го вида следует изготовлять 160+а штук, деталей 2-го вида следует изготовлять 110+а штук, деталей 3-го вида следует изготовлять 180+а штук, требуется раскроить ткань так, чтобы было получено необходимое количество деталей каждого вида при минимальных общих отходах.

Задание 1.4

Мебельный комбинат выпускает книжные полки А из натурального дерева со стеклом, полки B1 из полированной ДСП (древесно-стружечной плиты) без стекла и полки B2 из полированной ДСП со стеклом. Габариты полок А, B1 и В2 следующие: длина 1100 мм, ширина 250 мм, высота 300 мм. Размер листа ДСП 

200+10aX300 см.

При изготовлении полок А выполняются следующие работы: столярные, покрытие лаком, сушка, резка стекла, упаковка. Все операции, производимые в ходе столярных работ и упаковки, выполняются вручную. Полки B1 и В2 поставляются в торговую сеть в разобранном виде. За исключением операции упаковки, все остальные операции (производство комплектующих полки, резка стекла) при изготовлении полок B1 и В2, выполняются на специализированных автоматах.

Трудоемкость столярных работ по выпуску одной полки А составляет 4 (Тр1) ч. Производительность автомата, покрывающего полки А лаком – 10 (Пр1) полок в час, автомата, режущего стекло – 100 (Пp2) стекол в час.

Сменный фонд времени автомата для покрытия лаком – 7 (ФВ1) ч, автомата для резки стекла – 7,5 (ФВ2) ч. Сушка полок, покрытых лаком, происходит в течение суток в специальных сушилках, вмещающих 68 (V1) полок. На упаковку полки А требуется 22 (Тр2) минуты. В производстве полок заняты 58 (Р1) столяров и 32 (Р2) упаковщика.

Производительность автомата, производящего комплектующие полок B1 и В2, равна 3 (Пр3) полки в час, а его сменный фонд времени равен 7,4 (ФВ3) ч, трудоемкость упаковочных работ составляет 8 (Тр3) мин для полки В1 и 10 (Тр4) мин для полки В2.

От поставщиков комбинат получает в месяц 400 (Z1) листов полированной ДСП, 248 (Z2) листов ДВП (древесноволокнистой плиты), а также 278 (Z3) листов стекла. Из каждого листа ДВП можно выкроить 14 (К1) задних стенок полок B1 и В2, а из каждого листа стекла – 10 (К2) стекол для полок А и В2.

Склад готовой продукции может разместить не более 350 (V2) полок и комплектов полок, причем ежедневно в торговую сеть вывозится в среднем 58 (N) полок и комплектов. На начало текущего месяца на складе осталось 28 (Ост) полок, произведенных ранее. Себестоимость полки А равна 223 руб., полки В без стекла – 142 руб., со стеклом – 160 руб.

Маркетинговые исследования показали, что доля продаж полок обоих видов со стеклом составляет не менее 60% (Д) в общем объеме продаж, а емкость рынка полок производимого типа составляет около 5300 (V3) штук в месяц. Мебельный комбинат заключил договор на поставку заказчику 68 (З) полок типа В2 в текущем месяце.

Составьте план производства полок на текущий месяц. Известны цены реализации полок: полка А – 295 руб., полка В без стекла – 182 руб., полка В со стеклом – 233 руб.

Работа №2

Задание 2.1

Компания «Стройгранит» производит добычу строительной щебенки и имеетна территории региона три карьера. Запасы щебенки на карьерах соответственно равны 800, 900 и 600 тыс. тонн. Четыре строительные организации, проводящие строительные работы на разных объектах этого же региона дали заказ на поставку соответственно 300, 600, 650 и 500 тыс. тонн щебенки. Стоимость перевозки 1 тыс. тонн щебенки с каждого карьера на каждый объект приведены в таблице:

Карьер	Строительный объект
	1	2	3	4
1	8	4	1	7
2	3	18	7	3
3	3	5	11	8

Необходимо составить такой план перевозки (количество щебенки, перевозимой с каждого карьера на каждый строительный объект), чтобы суммарные затраты на перевозку были минимальными.

Значение неизвестного параметра а взять равным номеру варианта. (а=18)

Задание 2.2

Цеху металлообработки нужно выполнить срочный заказ на производство деталей. Каждая деталь обрабатывается на 4-х станках С1, С2, С3 и С4. На каждом станке может работать любой из четырех рабочих Р1, Р2, Р3, Р4, однако, каждый из них имеет на каждом станке различный процент брака. Из документации ОТК имеются данные о проценте брака каждого рабочего на каждом станке:

Рабочие	Станки
	С1	С2	С3	С4
Р1	2,3	2.7	2,2	2,7
Р2	2.7	2,2	2,0	2.7
Р3	2,5	2,0	2,2	3,0
Р4	2,0	2,4	3.5	2,8

Необходимо так распределить рабочих по станкам, чтобы суммарный процент брака (который равен сумме процентов брака всех 4-х рабочих) был минимален. Чему равен этот процент?

Работа №3

Задание 3.1

Предприятие выпускает три вида продукции А, В и С. Для выпуска затрачиваются ресурсы: Труд, Сырье и Энергия.

Остальные характеристики приведены в таблице:

Тип ресурса	Нормы затрат на ед. продукции			Наличие ресурсов
	А	В	С
Труд	1,2	4	3	200
Сырье	1	1	2	136
Энергия	1	2	2	130
Цена ед. продукции	40+а	60	80

Составить и решить прямую и двойственную задачи, провести анализ решения. Проанализировать ценности ресурсов. Определить, целесообразно ли включать в план продукцию четвертого вида, если цена единицы этой продукции составляет 70 у.е., а на ее производство расходуется по 2 ед. ресурсов каждого вида.

Отчет должен содержать математическую модель прямой задачи, полученные на ЭВМ из ее решения значения переменных и целевой функции, математическую модель двойственной задачи, оптимальные значения ее переменных и значение целевой функции. Сделать выводы: 

1) сколько продукции каждого вида следует выпускать и чему при этом будет равна прибыль;

2) какая оценка ценности каждого ресурса, какие ресурсы дефицитные, а какие нет; 

3) какие общие затраты на производство продукции четвертого вида и целесообразно ли планировать ее выпуск.

Задание 3.2

Найти условные экстремумы целевой функции Z,

при заданных ограничениях:

         а)                                        б)                              в)

Значение неизвестного параметра а взять равным номеру варианта.(a=18)

Отчет должен содержать найденные на ЭВМ оптимальные значения переменных и целевой функции.

Работа 4

Задание 4.1

Решить методом последовательных уступок двухкритериальную задачу, представленную математической моделью:

Z1=x1 -3x2 ? max; 2=2x1 -2x2 ? min;

3x1 + 5x2 ?2,

x1 +x2 ?11,

x1-x2 ? -1,

x1, x2 ?0.

Задание 4.2

F1(x, y) = 12 + 18x + 13y 

х+у ?8;

х+ 4у ?40;

?х ?6; у?0.

Задание 4.3

Решить методом последовательных уступок двухкритериальную задачу, представленную математической моделью:

Z1=2x1 + x2 - 5x3? max;

Z2= 3x1 + 2x2 - 4x3? min;

x1 + 6x2 +5x3?2,

x1 +x2 -3x3?27,

x1 + 5x2 ?75,

x1 + 3x3 ?3,1 ,x2 ,x3 ?0.

Задание 4.4

Решить методом последовательных уступок трехкритериальную задачу, представленную математической моделью:

Z1= -x1 +3 x2 - 2x3? min;

Z2= -3x1 + 2x2 - x3? max;

Z3=x1 + 2x2 +4x3? max;

x1 + 2x2 +18x3?1,

x1 +18x2 +x3?19,

18x1 + 3x2 ?21,

x1 ,x2 ,x3 ?0.

Работа №5

Задание 5.1

Прямая и двойственная задачи линейного программирования имеют вид:

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ?min;

18x1 + 3x2 + 4x3 + 6x4 + 7x5 ?1;

6x1 + 18x2 + 2x3 + 3x4 + x5 ?1;

3x1 +5x2 +18x3 +2x4 +8x5 ?1;

9x1 +2x2 +6x3 + 18x4 +3x5 ?1;

xi ?0; i=1,2,3,4,5.

y1 + y2 + y3 + y4 ?max;

18y1 + 6y2 + 3y3 + 9y4 ?1;

3y1 + 18y2 + 5y3 + 2y4 ?1;

4y1 + 2y2 + 18y3 +6y4 ?1;

6y1 + 3y2 + 2y3 + 18y4 ?1;

7y1 + y2 + 8y3 + 3y4 ?1;

yj?0; j=1,2,3,4.

Задание 5.2

Директор предприятия А заключает договор с конкурирующей фирмой В о реализации своей продукции на конкретной территории областного центра. Конкурирующие стороны выделили пять районов области. Каждая из них может развивать свое производство в этих пяти районах: A1, A2, A3, A4, A5  –  для стороны А и B1, B2, B3, B4, B5  –  для В. 

Вероятности успеха для стороны А приведены в платежной матрице:

Платежная матрица

 

 

Определить оптимальные стратегии для каждой стороны.

Значение неизвестного параметра «а» взять равным номеру варианта (а = 18).

Задание 5.3

Решить игру, описанную платежной матрицей для обоих игроков (матрица приведена для игрока А).

Платежная матрица

Аi\Вj	В1	В2	В3	В4	В5
А1	9	a	6	3	5
А2	10	7	a	7	5
А3	5	8	12	11	1
А4	5	6	4	8	a

Значение неизвестного параметра «а» взять равным номеру варианта (а = 18).

Отчет должен содержать математические модели ЗЛП, составленные для обоих игроков, полученные в результате решения на ЭВМ смешанные стратегии для обоих игроков и цену игры g.

Работа №6

Задание 6.1

Директор торговой фирмы, продающей телевизоры, решил открыть представительство в областном центре. У него имеются альтернативы либо создавать собственный магазин в отдельном помещении, либо организовывать сотрудничество с местными торговыми центрами. Всего можно выделить 5 альтернатив решения: A1, A2, A3, A4, A5. Успех торговой фирмы зависит от того, как сложится ситуация на рынке предоставляемых услуг. Эксперты выделяют 4 возможных варианта развития ситуации S1, S2, S3, S4.

Прибыль фирмы для каждой альтернативы при каждой ситуации представлена матрицей выигрышей aij (млн. р./год).

Аi/Bj	S1	S2	S3	S4
A1	a	10	14	5
A2	9	10	11	10
A3	2	4	a	22
A4	12	14	10	1
A5	15	6	7	14

Выбрать наилучшую альтернативу, используя критерии Лапласа, Вальда, Байеса с p1 = 0,4; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p4 = 0,2 , Сэвиджа иГурвица при коэффициенте доверия ? = 0,6.

Значение неизвестного параметра а взять равным номеру варианта.(a=18)

Задание 6.2

Нефтяная компания собирается построить в районе крайнего севера нефтяную вышку. Имеется 4 проекта A, B, C и D.

Затраты на строительство (млн. руб.) зависят от того, какие погодные условия будут в период строительства. Возможны 5 вариантов погоды S1, S2, S3, S4, S5. Выбрать оптимальный проект для строительства используя критерии Лапласа, Вальда, Байеса с p1 = 0,1; p2= 0,2; p3= 0,3; p4= 0,2; p5 = 0,2, Сэвиджа и Гурвица при ? = 0,6. Матрица затрат имеет вид:

Аi/Sj	S1	S2	S3	S4	S5
A1	а	12	8	10	5
A2	9	9	10	7	8
A3	6	8	15	a	7
A4	9	10	8	11	7

Значение неизвестного параметра а взять равным номеру варианта.(a=18)

Работа №7

Задание 7.1

Четырехфакторную целевую функцию потребленияU=U(x1, x2, x3, x4), цены на блага p1, p2, p3, p4, и доход D взять в соответствии с вариантом из таблицы.

1.Составив и решив задачу оптимального программирования,найти оптимальный набор благ.

2.Составить функцию спроса на второе благо от его цены, взяв 5целых последовательных значений цены до и после той, какая указана в таблице.

3.Составить функцию спроса на третье благо по доходу, взяв по четыре значения дохода до и после указанной в таблице с шагом 50

Вар	U(x1, x2, x3, x4)	p1	p2	p3	p4	D
18	ln(x1x2x3x4)	9	17	11	10	800

 

 Работа №8

Задание 8.1

Решить задачу межотраслевого баланса производства и распределения продукции для 4 отраслей.

Матрица межотраслевых материальных связей xij и вектор валового выпуска Xjприведены в таблице по вариантам.

Вариант	xij				Xj
18	60	40	30	65	400
	85	55	15	55	725
	20	70	50	55	850
	55	85	60	30	600