Вариант 7.Методы и модели линейного программирования в решении экономических задач

Краткое описание

Оглавление

Введение…3

I.Теоретический раздел.

§1.Понятие и виды задач  линейного программирования...6

§2.Характеристика задач линейного программирования…7

2.1.Типовые модели задач линейного программирования.

2.1.1.Задача использования ресурсов.

2.1.2.Транспортная задача линейного программирования.

2.1.3.Задача о назначениях.

2.2.Общая постановка задачи линейного программирования, ее геометрическая интерпретация...16

2.2.1.Общая постановка задачи.

2.2.2.Каноническая форма ЗЛП.

2.2.3.Переход к каноническому виду.

2.2.4.Геометрическая интерпретация ЗЛП.

2.3.Симплексный метод…23

2.3.1.Идея симплекс-метода.

2.4.Двойственность задач линейного программирования…25

2.4.1.Прямая и двойственная задачи.

2.4.2.Теоремы двойственности и их экономическое содержание.

2.5.Дробно-линейное программирование…30

II.Практический раздел…34

2.1.Решение задачи № 1…

2.2.Решение задачи № 2.

Заключение…48

Введение

Актуальность

Многие задачи, с которыми приходится иметь дело в повседневной практике, являются многовариантными. Среди множества возможных вариантов в условиях рыночных отношений приходится отыскивать наилучшие в некотором смысле при ограничениях, налагаемых на природные, экономические и технологические возможности. 

В связи с этим возникла необходимость применять для анализа и синтеза экономических ситуаций и систем математические методы и современную вычислительную технику. Такие методы объединяются под общим названием — математическое программирование.

Математическое программирование —  область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями, т. е. задач на экстремум функции многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных.

Функцию, экстремальное значение которой нужно найти в условиях экономических возможностей, называют целевой, показателем эффективности или критерием оптимальности. Экономические возможности формализуются в виде системы ограничений. Все это составляет математическую модель. Математическая модель задачи — это отражение оригинала в виде функций, уравнений, неравенств, цифр и т. д. 

Модель задачи математического программирования включает:

1)совокупность неизвестных величин, действуя на которые, систему можно совершенствовать. Их называют планом задачи (вектором управления, решением, управлением, стратегией, поведением и др.);

2)целевую функцию (функцию цели, показатель эффективности, критерий оптимальности, функционал задачи и др.). Целевая функция позволяет выбирать наилучший вариант - из множества возможных. Наилучший вариант доставляет целевой функции экстремальное значение. Это может быть прибыль, объем выпуска или реализации, затраты производства, издержки обращения, уровень обслуживания или дефицитности, число комплектов, отходы и т. д.;

Эти условия следуют из ограниченности ресурсов, которыми располагает общество в любой момент времени, из необходимости удовлетворения насущных потребностей, из условий производственных и технологических процессов. Ограниченными являются не только материальные, финансовые и трудовые ресурсы. Таковыми могут быть возможности технического, технологического и вообще научного потенциала. Нередко потребности превышают возможности их удовлетворения. Математически ограничения выражаются в виде уравнений и неравенств. Их совокупность образует область допустимых решений (область экономических возможностей). План, удовлетворяющий системе ограничений задачи, называется допустимым. Допустимый план, доставляющий функции цели экстремальное значение, называется оптимальным. Оптимальное решение, вообще говоря, не обязательно единственно, возможны случаи, когда оно не существует, имеется конечное или бесчисленное множество оптимальных решений. 

Один из разделов математического программирования - линейное программирование.   Методы и модели линейного программирования широко применяются при оптимизации процессов во всех отраслях народного хозяйства: при разработке производственной программы предприятия, распределении ее по исполнителям, при размещении заказов между исполнителями и по временным интервалам, при определении наилучшего ассортимента выпускаемой продукции, в задачах перспективного, текущего и оперативного планирования и управления; при планировании грузопотоков, определении плана товарооборота и его распределении; в задачах развития и размещения производительных сил, баз и складов систем обращения материальных ресурсов и т. д. Особенно широкое применение методы и модели линейного программирования получили при решении задач экономии ресурсов (выбор ресурсосберегающих технологий, составление смесей, раскрой материалов), производственно-транспортных и других задач.

Начало линейному программированию было положено в 1939 г. советским математиком-экономистом Л. В. Канторовичем в работе «Математические методы организации и планирования производства». 

Появление этой работы открыло новый этап в применении математики в экономике. Спустя десять лет американский математик Дж. Данциг разработал эффективный метод решения данного класса задач — симплекс-метод. Общая идея симплексного метода (метода последовательного улучшения плана) для решения ЗЛП состоит в следующем:

1)умение находить начальный опорный план;

2)наличие признака оптимальности опорного плана;

3)умение переходить к нехудшему опорному плану.

Цель курсовой работы – рассмотреть методы и модели линейного программирования в  решении экономических задач.

Задачи работы:

1.Дать понятие и  рассмотреть виды задач  линейного программирования.

2.Рассмотреть содержание задач линейного программирования.

3.Решить практические задачи согласно своему варианту.

Решение задачи № 1

Условие:

Предприятие предполагает выпускать два вида продукции A1 и А2 , для производства которых используется сырьё трех видов. Производство обеспечено сырьем каждого вида в количествах:b1(600),b2(357),bЗ(600) кг. На изготовление единицы изделия A1 требуется затратить сырья каждого вида a11(    ), а21(    ) a31(…) кг, соответственно, а для единицы изделия А2 - al2 (     ), а22(     ). а32(    )

кг. Прибыль от реализации единицы изделия А1 составляет cl() ден.ед.. для единицы изделия А2 - с2 () ден.ед.

Требуется составить план производства изделий А1 и А2 обеспечивающий максимальную прибыль предприятия от реализации готовой продукции. Необходимо:

• Решить задачу геометрически:

• Решить задачу симплекс-методом:

• Сформулировать двойственную задачу и найти её решение.

 

Решение задачи № 2 

Условие:

На три базы: A1, А2, A3 поступил однородный груз в количествах : al( 370 ).а2( 450 ). аЗ( 480 ). соответственно. Груз требуется перевезти в пять пунктов:b1 в пункт В1 ( 300), b2 в пункт В2( 280 ), bЗ в пункт В3(ЗЗО), b4 в пункт В4 (290), b5 в пункт В5 (100 ).

Спланировать перевозки  так, чтобы общая их стоимость была минимальной. Матрица тарифов cij перевозок между пунктами отправления и пунктами назначения, а также запасы и потребности представлены ниже: