Контрольная работа по математике № 4, 5. Вариант 13

Краткое описание

 Контрольная работа №4

Вариант 13

Задание 1. Пусть даны линейное многообразие L = a + U, где U = ( b1, b2,b3), и а = (1,2.8,- 5. - 3), b1 = (4,6, - 6,9.8), b = (8,9,9,- 5,-6), b3 = (5,-5,-4,8,-3).

а) Найти систему линейных уравнений, задающую L.

Б) Определить,принадлежат ли ему векторы d₁ = (4,3,15, - 14,-14),

d₂ = (12,12,24,-19, - 20), d3 = (4,3,16,-14,-13).

Задание 2. Пусть даны линейные многообразия L = а +  U, М = с + W, где U= (b1,b2,b3), W  = ( d1,d2,d3), а = (5,-5,-4,5,7). с= ( 8,-10,10,2,21), b1= (2,3,-7,-3,-6), b2=(5,-2,7,-6,8), b3= (4,-5,-8,-8,6), d1 = (1,-8, 21,0,20), d2 = (8,-7,21,-9,22).

А) Найти сумму и пересечение U и W.

Б) Для L и М найти задающих их системы линейных уравнений.

В) Найти композит и пересечение L и М.

Г) Определить взаимное расположение L и М.

                                                                                             ?
Задание 3. Пусть даны плоскость 4х + 3у  - 2 z + 9 = 0 и вектор а   = ( 8,-3,5 ).

а) найти матрицу оператора проектирования пространства на данную плоскость

                               ?
коллинеарно вектору а  в исходном ортонормированном базисе.

Б) Найти базисы образа и ядра этого оператора.

Задание 4.  Известно что линейное отображение А переводит векторы а₁ = ( 3,-4, -4, 3), а = (0,3,6,0,3), а₃ = (-1,-1,2,-3), а₄ = (4,3,3, -2) в векторы b₁ = (31,0,-31),  b₂ = ( - 9,3,12),  b₃ = ( - 5,-3,2),  b₄ = ( - 23,0,23).

а) Найти его матрицу в тех базисах, в которых даны координаты векторов.

Б) Найти базис образа и базис ядра отображения А.

В) Найти матрицу А в  базисах с₁ = (1,0.0.0), е₂ = (0,1,0,0), e₃ = (3,-4,1,0), e4 = (0,2, - 4,1) и ?₁ = ( 1,3. - 3) , ?₂ = ( 0,1, -1), ?₃ = (0, 0,1).

Задание 5. Линейный оператор А в стандартном базисе задан  матрицей:

 2    - 1    0

( 0     0   -1 )

2     -1    0

а) Найти  характеристический многочлен ?_а ( х).

Б) Найти  собственные значения и собственные векторы оператора А.

В) Является ли А оператором простой структуры? Если да, то записать его матрицу в базисе из собственных векторов.

Задание 6.Найти все подпространства, инвариантные относительно линейного оператора А, заданного в некотором базисе матрицей.

  0     1   -1     3

 -3    4    -3     5

 -1     1     0    2

 0     0     0     2

Задание 7. Найти корневые подпространства, жорданову  форму матрицы и некоторый жорданов базис для линейных операторов, заданных следующими матрицами:

 1    - 1     2    - 1     0                 1    - 1     2     - 1     0      0

 0    - 2    3     - 3     4                0    0       2      - 1    -1      0

 0    - 2    2     - 2    4 ) ;          (  0     - 1    2      - 1      1     1 )        

 1    - 3    3     - 2    4                 1     - 2    2     - 1     3     1

 1    - 2    2     - 2    4                 1     - 1    1      - 1      2    0

                                             - 1      0     0         0      0     2

              Контрольная  работа № 5

Задание 1.Дано линейное подпространство  U, порожденное векторами а₁ = (1,-2,1,1), а₂ = (1,-4,1,2), а₃ = (1,-2,-1,3)

а) Найти ортогинальный базис U.

Б) Найти ортогональный базис ортогонального дополнения U₁

В) Найти  ортогональную проэкцию и ортогональную составляющую вектора х = ( -3,1,5,7) на U/

Г) Найти длину вектора х и угол, который он образует с U.

Задание 2. Найти расстояние между линейными многообразиями: L = a + U,

К = с + W где U = (b1,b2, b3). W = ( d1,d2,d3), а = (7,-1,-7.7,1), b1 = (5,-5,-2,-8,5), b  = (3,-6,9,1,7), b3 = (2,-3,6, 9, - 3), с = ( 8,-8,1, - 7,-3), d1 =(2, - 9,-5,-3,2), d2 = (4,-8,1,-9,-1), d3 = ( 4,-8,3,7,6). 

Задание 3. Линейный  оператор А в базисе: e1 = (1,0,0, 0), е2 = (0,1,0,0), у3 =

                                                              -2    2    - 1      0

                                                               0    2      0      1

1,0,1,0), е4 = (0,0,0,1) задан матрицей:  (  0     2     -2     1 ) .  

                                                             -1   -1      -1     1

Найти матрицу: Грама  указанного базиса  и матрицу сопряженного оператора А в этом базисе.

 

Задание 4. Найти ортонормированный базис из собственных векторов и матрицу самосопряженного оператора А в этом базисе, если в исходном ортонормированном базисе оператор А имеет  матрицу:

  - 6      6       0

 (  6    - 9    - 6 )  .

   0    - 6   - 12 

Задание 5. Найти канонический ортонормированный базис и матрицу ортогонального оператора А в этом базисе, если в исходном ортонормированном базисе оператор А имеет матрицу:

   0   - 1    0    0

 - 1    0     0    0

  ( 0    0     0   - 1 ) .

   0    0   - 1     0