Контрольная работа по аналитической и векторной алгебре

Краткое описание

Раздел 1.1

ЛИНЕЙНАЯ  И  ВЕКТОРНАЯ  АЛГЕБРА.

Задание 1

Вычислить  указанные  матричные  выражения:

                                  2    - 2
А . В - 2 . С, где  А = (  1      0 ) ,   
                                  3      1

           0      1
В =  ( - 2   - 3 ) ,   

           2       1
С  =  (  1     -2 ) .
          -1      0

 Задание 2

Проверить  совместность  системы   уравнений  и  в  случае  совместности,  решить  её:   а) методом  Крамера;   б) методом Гаусса;  в) матричным  методом.  Сделать  проверку.

  - х - 2 у = 4

(  5 х + 7у + z = - 10

  - 4 х + 3 у + 2 z = -15

 Задание 3

Даны  координаты  вершин  пирамиды АВСD . Требуется:

                               ?     ?     ?

1) записать  векторы АВ , АС  ,  АD   в  ортонормированном   базисе   и  найти  модули  этих  векторов;

2) вычислить  скалярное  произведение ( 2 АВ + АС) . АD ;

3) вычислить векторное произведение ( АВ - АС) . АD  ;

4) найти угол между  векторами АВ  и АС ;

5) найти  проекцию  вектора  АD   на  вектор  АВ ;

6) найти площадь  грани АВС  ;

7) найти объём пирамиды АВСD .

А ( 0,4,3), В (4,8,1), С (2,15, - 7), D (0,6,4)

Раздел 1.2

АНАЛИТИЧЕСКАЯ  ГЕОМЕТРИЯ.

Задание 4

Даны  координаты  вершин  треугольника  АВС.  Сделайте  чертёж.   Найти:

1)длину  стороны  АВ;

2)уравнения  прямых  АВ  и  ВС   с  угловым  коэффициентом;

3)угол В;

4)уравнение высоты     и  её  длину;

5)уравнение  прямой,  проходящей  через  точку  С  параллельно  АВ.

А (4,1),      В (16,-8),       С (14,6).

Задание 5

Даны  координаты  вершин  треугольника  АВС,  точки  М.

Найти:

1) уравнение  плоскости  Q,   проходящей  через  точки  А,  В  и  С; 

2) канонические  уравнения  прямой, проходящей  через  точку  М  перпендикулярно  плоскости  Q;

3) расстояние  от  точки  М  до  плоскости  Q.

А(0,6.-5),      В (8,2,5),    С(2,6,-3),    М (5,0,-6)

Раздел 1.3

ВВЕДЕНИЕ  В  АНАЛИЗ

Задание 6

Найти указанные  пределы.

            х² - 2х + 1
А) Iim   -------------- ,
   х?1   х² - 4х + 3

               3 х2 + 5 х + 4
Б)  Iim   ------------------ ,
   х??      6 х - 3 х +1

                2х . tq4х
В)  Iim    ------------- ,
    х?0     sin ³  2 х

Г)  Iim       ( 1 + 5 х) ^{4х + 1} . 
    х ??

Раздел 1.4

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ  ИСЧИСЛЕНИЕ  ФУНКЦИИ  ОДНОЙ  ПЕРЕМЕННОЙ

Задание 7

                                   dу
Найти производные:     ----
                                   dх

             8х
А) у =   ---------- ;
            4 х² - 1

           arcsin 4 х
Б) у = 2     -   сtq³ х ;

В) у = In (2х - 3);

Г) у= cos 3 2х . ?sin 4 х.

Д) у = ( х2 + 3 ) ^{cos х}

Задание 8

                                   d у             d² у
  Найти производные:    -----    и    ------- .
                                   dх               d х²

х= ctqt

у = sim ² t

Задание 9

Найти экстремумы  функции   у = ? (х)    и  точки   перегиба  её  графика:

        1
у =  ----  ( х³ - 8 х² + 5 х + 14) .
        3

 Задание 10

Исследовать  функцию  методами  дифференциального  исчисления  и  начертить  её график.  Исследование  рекомендуется  проводить  по  следующей  схеме:

1.Найти  область  определения.

2.Установить  точки  пересечения  графика   с  осями  координат.

3.Выяснить,  является   ли  данная   функция     чётной  или  нечётной.

4.Исследовать  функцию  на  непрерывность;  найти  точки  разрыва   и  односторонние  пределы   функции   в  точках разрыва.

5.Найти  интервалы  монотонности  и  точки  экстремума.

6.Установить  интервалы  выпуклости  - вогнутости  и  точки  перегиба  графика  функции.

Построить  график  функции,  используя  результаты  исследования.  При   необходимости  можно  дополнительно   находить  точки  графика,  давая   аргументу  х   ряд  значений  и  вычисляя  соответствующие  значения  функции у .

          х2
у =   ------   .
         1 - х

 2.1.ФУНКЦИИ  НЕСКОЛЬКИХ  ПЕРЕМЕННЫХ

Задание 11

 

Найти  все  частные  производные  первого  и  второго  порядков   данной  функции: z = z (х,у).  z = in ( х - 6у) .

 Задание 12

Исследовать  данную  функцию  на  экстремум: 

 z = 3 х² + 3 у² + 5 ху + 4 х + 7 у + 5

Задание 13

 Найти  наименьшее  и  наибольшее  значения  функции z = х² + 2 ху - у² + 4 х  в  треугольнике,  ограниченном   данными  прямыми: х = 0; у = 0; х + у+2 = 0  

Задание 14

                                        х2
Даны  функция z = arcsin  -----  ,   точка  М ( 1;2)  и  вектор s = 5i - 12 i .  Найти                                           у

qrcidz    в  точке  М  и   производную   от  функции  z   в  точке   М  по  направлению   вектора S .

 2.2. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ   ИНТЕГРАЛ.

Задание 15

Найти неопределённые  интегралы.  В  п.а) результат  проверить  дифференцированием:

                                      arctq⁴ хdх
А) ? ? 5х + 1 dх,    Б) ?   -------------- ,   
                                        1 + х

                                             dх
В) ? (1 - 4 х²) in хdх ,   Г) ?   ------------ .
                                        5 + 3 cos х

2.3.  ОПРЕДЕЛЁННЫЙ  ИНТЕГРАЛ

Задание 16

                                                3            dх
Вычислить  определённый  интеграл:  ?    ---------------- .
                                                       0      5 - ?х + 1

Задание 17

                                               ?
 Вычислить  несобственный  интеграл: ?                   ^{d х} 
                                                       2            ---------------- .
                                                                     х 2 - 4 х + 29

 Задание  18

Вычислить  площадь  фигуры,  ограниченной  параболой  и  прямой.  Сделать  чертёж.  у = х² - 6 х - 5, у = х + 1