5 контрольных работ по математике (81)

Краткое описание

5 Контрольных работ по математике. 

Задание №5

Дан определитель 4-го порядка. 1) Вычислить, разложив определитель по 1-й строке; 2) вычислить, предварительно получив нули в строке (или столбце).

¦ 1   4   -3   9 ¦

¦ 2   5   2   -7 ¦

¦ 3  -6   1    2 ¦

 Задание №15

Даны: координаты вершин пирамиды А₁ А₂ А₃ А₄. Найти: 1) длину ребра А₁ А₂; 2) угол между ребрами А₁ А₂ и А₁ А₄; 3) уравнение плоскости А₁ А₂ А₃; 4) угол между ребром А₁ А₄ и гранью А₁ А₂ А₃; 5) площадь грани А₁ А₂ А₃; 6) объем пирамиды; 7) уравнение прямой А₁ А₂; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁ А₂ А₃. Сделать чертеж.

А₁ (9; 5; 5 ),     А₂ ( -3; 7; 1 ),   А₃ (5; 7; 8 ),  А₄ (6; 9; 2 ).

 Задание № 25

Даны вершины   А (-3; -2 ); В ( 4;  -1 ); С (1; 3 )  трапеции АВСD ( АD || BC ). Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти: координаты вершины D  в этой трапеции.

 Задание № 35

Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки: А ( 2; 0 )  и от прямой  2х + 5 = 0   относится как 4 : 5.

 Задание № 45

Линия задана уравнением   r = r ( ? )  в полярной системе координат. Требуется построить линию по точкам, начиная от ? = 0   до ? = 2 ?  и придавая ? 

                                         ?
значения через промежуток 8 . Записать уравнение в декартовой системе координат и определить тип кривой.

r = аsin ² 2?.

Задание № 55

Найти: пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

              4х⁵ + 2 х
а) Iim     ----------- ;
  х??     2 х⁵ - 3

 

             ?1 + 3 х² - 1
Б) Iim    --------------- ;
    х?0      х² + х³

               х sin 3х
В) Iim    ------------ 
   х?0    1 - cos 6х

                          5
Г) Iim   ( 1 + 3х ) х + 2
   х?0

 Задание № 65

Задана функция  у = ? ( х ). Исследовать функцию на непрерывность в точке Х=0, в случае разрыва функции установить характер разрыва; при каком значении параметра  ?  функция будет непрерывна в точке  Х = b. Сделать чертеж.  

                                1
                             ех - 2,        Х < а

? ( Х ) = ( х2 - 1,   0 ? х < b   а = 2,  b = 3

                             2х + ?,        Х ? b

Задание №75

   dу
Найти производные (   dх  )  данных функций:

             х - ? ²
А) У = ( --------- ;
              х + ?

Б) У = е ^{sin х - cos 2 х ;}

                         х
В) У = In2 ? 3tq 2 + 1;

Г) У = ( аrctqх ) ^{inх .}

Задание № 85

  d² у

Найти производные ( dх ² ) данных функций:

А) У = аrcctq;     

               1
Б)  ( Х =  3 t ³  + t

       У = In ( t² + 1 )

Задание № 95

Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиуса R.

Задание № 105

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.

У = хе ^-х

 Задание № 115

Найти: неопределенные интегралы. В первых двух примерах проверить результаты дифференцированием. 

А) ? 3хе ^2-3

             хdх
Б) ? --------------- 
       ?3 - 2х - х²

В) ? Sin ³ хсos² хdх 

        ( ⁴?х + 1 ) dх
Г) ? -------------------- . 
       ( ?х + 4 ) ⁴ ? х³

Задание № 125

Вычислить определенные интегралы (п. а) и б)), вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость (п. в)).

     1     dх
А) ?  --------- ;
    0   1 + ?х

  ?3
    2
Б) ? хаrccos хdх
    0

 +?         dх
В) ?    ------------ .
   -1    х² + х + 1

 Задание № 135

Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.

 9
 ?  ? х² + 2 dх .
-1

Задание № 155

Дана функция:  Z = in ( х + е^-у ) . Показать, что

 dz     d² z      dz
---- . ------- - ----- .
 dz    d хdу     dу

Задание № 165

Даны функция Z = ? 9 ( х; у )   и две точки  А ( х₀; У₀ ) ; В (х₁; у₁ . Требуется: 1) Вычислить значение  z₁ функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z ₂  функции в точке В, исходя из значения  z₀ в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции ее дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности  Z= ? (х; у )  в точке С ( х₀; у₀; z₀ ) 

Z = х² + 2ху + 3у^{2 ;}    А ( 2; 1 )     В ( 1,96; 1,04 ) .

Задание № 175

Найти: наименьшее и наибольшее значения функции   Z =  ? ( х, у )     в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.

Z = х² + 2 ху + у² ;    -1 ? х ? 1;          0 ? у ? 2.

 Задание № 185

Дано: функция z=z (x, y),  точка А(х₀, у₀) и вектор а . Найти: 1) qrаdz   в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора а.

Z = 5х^z + 6 ху;  А ( 2; 1 ); а = i + 2 j .

 Задание № 195

Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах.  ( а > 0 )

Х⁴ = а² ( 3х² - у² ) 

Задание № 205

Вычислить с помощью двойного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать: чертежи данного тела и его проекции на плоскость xOy.

Z = 0;     У + Z = 2;     х² + У² = 4 .

Задание № 215

Найти: общее решение дифференциальных уравнений.

А)  ( 3у²  + 3ху + х² ) dх = ( х² + 2ху ) dу ;      Б)     УУ - ( у )² = У₂ У^{1 .}

Задание № 225

Найти: частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

У + У + Sin  2х = 0      У ( ? ) = 1.

 Задание № 235

Исследовать сходимость числовых рядов:

    ?        3?
А) ?    ------------------- ; 
 n = 1   ( n + 2 ) 4 ^{n +1}

                       n + 1
Б)   ? ( -1 ) ⁿ ------------ ;
   n = 1         ? 4 n3 + 1

Задание № 245

Найти интервал сходимости степенного ряда:

?        n (х + 5 ) ⁿ
 ?    ------------------- .
n=1   4 ⁿ ( 2n + 1 ) ² 

Задание № 255

Вычислить определенный интеграл с точностью 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно.

0,5
 ? х in ( 1 - х² ) dх .
 0

 Задание № 265

Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения У = У (Х ) дифференциального уравнения   У = ? ( Х, У ) , удовлетворяющего начальным условиям.

У = In ( х² + у² ),          У ( 0 ) = 1 .